Prawdopodobieństwo w grach fabularnych

Oczekuję 7-ki, czyli kiedy pojawi się troll?

Autor: Michał 'Exar' Kozarzewski

Prawdopodobieństwo w grach fabularnych
Prawdopodobieństwo. Żyjemy z nim w grach, niewątpliwie każdy z nas może pochwalić się super serią szóstek albo jedynek. Jednakże, czy potrafimy z niego świadomie korzystać? Czy znienawidzony w szkołach (i często powtarzany przez wielu na studiach) rachunek prawdopodobieństwa jest aż tak straszny w przypadku gier?

Kto na tym tekście skorzysta? Mam nadzieję, że wszyscy, jednakże spodziewałbym się, że głównymi beneficjentami będą oczywiście MG, którym wiedza ta posłuży do tworzenia grupy antagonistów adekwatnych do poziomu BG. Mój artykuł przydać się może również optymalizatorom, zwanym z angielskiego powergamerami. Przykładowe systemy, na których będę się opierać to popularne w Polsce Zew Cthulhu i Warhammer, systemy bazujące na 2k20, czyli między innymi Mutant Chronicles, Fallout, Star Trek: Adventures, Conan, czy wkrótce mająca zostać wydana w Polsce Diuna. Przy okazji rzutów 3k6 zahaczę też o mającego lata świetności za sobą GURPS-a.

Spis treści:

  1. Podstawy, trochę prostej matmy i zalesiamy fantastyczny świat.

  2. Kapitanie, to logiczne, że posiłki pojawią się za 4 tury – czyli obrażenia.

  3. Powergaming, czyli Mistrzu, zajrzyj tutaj! (gracza nie namawiam, bo i tak zajrzy). 

Część 1. Trochę prostej matmy i zalesiamy fantastyczny świat

Przeskocz do Części 2, jeśli szukasz wniosków, nie sposobu dojścia do nich.

Zacznijmy od najprostszego przykładu i metody drzewka, która przy odrobinie cierpliwości rozwiąże pewnie większość naszych prawdopodobnych problemów matematycznych.

Rzucamy k6. Ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 3?

Oczywiście, ⅙. Czyli jeden raz na sześć rzutów wypadnie nam 3. Co z pozostałymi 5 rzutami? Oczywiście, statystycznie, wypadnie nam 1, 2, 4, 5 i 6. Co nie znaczy, że rzucicie 6 razy i akurat wypadną te wyniki. Ale jak rzucicie już 100012312 razy, to już pewnie się okaże, że każdy wynik wypadł mniej więcej tyle samo razy (jeśli nie, to wymieńcie kostkę albo i nie).

Zobaczmy teraz, jak to wyliczać (zdrowy rozsądek też będzie potrzebny).

 

Powyżej widzimy drzewko prawdopodobieństwa, które na dolnych owocach pokazuje, jaki mamy wynik danej akcji (u nas – wynik rzutu k6), a przy gałęziach napisano jak prawdopodobny jest ten wynik. W przypadku kaszóstki zakładamy, że wszędzie jest ono jednakowe i wynosi ⅙, dla k10 oczywiście zmienimy wartości na 1/10 a przy k20 (uwaga, niespodzianka!) na 1/20. Oczywiście zamiast liczb 1..6 możemy mieć cokolwiek innego, na przykład w Star Trek: Adventures ścianka z jedynką to 1 obrażenie, z dwójką 2 obrażenia, trzy i cztery – brak obrażeń, a ścianki z wartościami pięć i sześć to 1 obrażenie z dodatkowo wywołanym efekt specjalnym broni.

Pójdźmy krok dalej i spróbujmy wyliczyć jaki wynik otrzymamy przy rzucie dwiema kostkami, dla prostszego zilustrowania weźmy 2k4.

 

Nasze drzewko znacznie się rozrosło. Pierwsze owoce to wynik wyjściowego rzutu, drugi rząd owoców to suma oczek na obu kostkach. Podliczmy teraz, ile par tworzy daną sumę wyrzuconych oczek:

 

Jak więc wyliczyć prawdopodobieństwa każdego wyniku? Najpierw musimy dojść do najniższego owocu – aby to zrobić, musimy przemnożyć prawdopodobieństwa danych gałęzi – u nas ¼ * ¼ . Następnie dodamy wartości mnożeń z każdej gałęzi prowadzącej do tego wyniku:

Widać już, że najbardziej prawdopodobnym wynikiem będzie 5, który wypadnie aż 4 razy na 16 rzutów (albo 1 raz na 4 rzuty, upraszczając).

Część 2. Kapitanie, to logiczne, że posiłki pojawią się za 4 tury – czyli obrażenia

Jeśli nie chce Wam się powyższego liczyć, a pewnie nie, to już mówię, co wyniknie z tych obliczeń. Dla każdej sumy dwóch takich samych kostek najbardziej prawdopodobny wynik wynosi maksymalna liczba oczek na jednej kostce plus jeden, czyli:

Powyższe wartości nazywać będziemy wartością oczekiwaną. (Jeśli ktoś chce znać metodę liczenia wartości oczekiwanej, oto ona: należy pomnożyć wszystkie możliwe wyniki przez prawdopodobieństwo ich osiągnięcia i dodać wszystkie wartości do siebie; dla k6 będzie to: 1*⅙ + 2*⅙ + 3*⅙ + 4*⅙ + 5*⅙ + 6*⅙ = 21/6 = 3,5; dla k10 będzie to 5,5; dla k4 będzie to 2,5; a prościej: wartość oczekiwana to wartość średnia z liczby oczek na kostce).

Wartość oczekiwana wskazuje, czego, uwaga, możemy się spodziewać po rzucie. 

 

No dobrze, ale jak to się ma do rzeczywistej sytuacji na stole gry?

Oczywiście, nie wystarczy obliczyć, ile obrażeń zada broń (dla ZC z reguły jest to k–ileś + stała, dla WFRP k–ileś + stała wynikająca z siły postaci + premia za poziom sukcesu), choć z jakimś prawdopodobieństwem, takie obrażenia zadamy.

 

Przykład: policzmy, za ile tur antykwariusz Janusz ukatrupi Mroczny Pomiot Liryczny, który ma 10 punktów życia.

 

Wartość oczekiwana zadanych obrażeń wyniesie 0,25 (bo tyle wynosi szansa trafienia, 25%) * 8 (bo dla 2k6 wartość oczekiwana wynosi 7, ale dodamy też +1), czyli 2. Dlatego spodziewać będziemy się, że Mroczny Pomiot Liryczny polegnie za 5 tur, bo ma 10 żyć i średnio co turę straci 2. Drodzy Mistrzowie, w takiej sytuacji, planując przygodę nie wysyłajcie posiłków Pomiotu po k4 rundach (czyli średnio, po 2,5 rundy), dajcie graczom szansę i niech to będzie k6+1 rund (4,5 rundy). 

 

A co z broniami zadającymi 3k6 obrażeń? Znowu można narysować drzewko, ale ułatwię Wam życie (mielibyście aż 216 owoców) i odpowiadam:

 

Poniżej dwie tabelki z prawdopodobieństwami wylosowania konkretnych sum:

Z tabeli wynika, że wartości od 9 do 12 wypadać będą w prawie 50% rzutów, tak więc wielkich emocji się nie spodziewajcie. Kolejne 50% rozrzucone będzie po pozostałych dwunastu możliwych wartościach. 

Wiemy już jakie obrażenia średnio zadawać będą różne bronie w systemach procentowych, sytuacja jednak komplikuje się dla innych systemów, bo sukces oczywiście nie będzie definiowany wprost przez wartość umiejętności. 

Część 3. Powergaming, czyli Mistrzu, zajrzyj tutaj! (gracza nie namawiam, bo i tak zajrzy). 

Spójrzmy na prawdopodobieństwa sukcesu w GURPS – musimy rzucić na 3k6 mniej lub równo niż poziom umiejętności.

Poniższa tabela pokazuje, jak bardzo prawdopodobny jest pozytywny wynik rzutu (drugi rząd) dla danego poziomu umiejętności (pierwszy rząd).

Wnioski:

Jeśli macie tracić punkty postaci na przejście z poziomu 3 na 4 lub nawet 5 – dajcie spokój, niewiele zyskacie, bo dobijecie do marnych 5% prawdopodobieństwa sukcesu, czyli, zakładając, że będzie to raczej mniej wykorzystywana w rozgrywce cecha, pewnie się zdarzy że nigdy nie uzyskacie sukcesu. Z drugiej strony, największe wzrosty macie od poziomu 8 do 12 (te słynne 50% rzutów…), bo aż ponad 10 punktów procentowych za oczko. Podobnie jak po "niskiej" stronie, "wysoka" strona też jest raczej przerostem formy nad treścią – dobicie do 100% z 90% wymagać będzie przeskoku aż o 4 poziomy  (a i tak MG może Wam nie sprzyjać i rzucać dodatkowe kłody pod nogi, wszak tacy wspaniali jesteście).

Harkonnenów los, czyli 2d20 a umęczone postacie graczy

W mechanice 2d20, która stosowana jest w pozycjach firmy Modiphius, czy wydawanej przez Alis Games Diuna – Przygody w Imperium, aby osiągnąć sukces należy wyrzucić na przynajmniej jednej k20 wartość równą lub niższą niż suma, w przypadku Diuny, umiejętności i motywacji (Drive).

Oczywiście zachęcam wszystkich do rozrysowania drzewka (wszak wieczory są coraz dłuższe), zobaczmy jednak rozwiązanie obliczeń.

Kolumny to suma umiejętności + motywacja, rzędy mówią, ile sukcesów (kolumna 2) przy ilu kostkach (ostatnia kolumna) potrzebujemy zdobyć – przykładowo, jeśli musimy zdobyć 1 lub 2 sukcesy rzucając 2 kostkami, patrzymy na rząd numer 3 (ignorując nagłówek). Poszczególne wartości to procent szansy powodzenia. 

Zwróccię uwagę, że wymagana liczba sukcesów to ile dokładnie sukcesów potrzeba (NIE tyle lub mniej)

Zwróćcie uwagę, że liczba potrzebnych sukcesów określa ile dokładnie sukcesów potrzebujemy – przykładowo, pierwszy rząd mówi, że rzucamy dwiema kostkami i patrzymy jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 0 sukcesów. Czyli przy rzucie dwiema kostkami i bardzo wysokiej sumie umiejętności i motywacji, prawdopodobieństwo porażki (czyli wyrzucenia 0 sukcesów) jest bardzo niskie albo wręcz zerowe. 

Wnioski

Wniosek pierwszy. Maksowanie cech (czyli umiejętność + motywacja osiągają poziomy rzędu, powiedzmy, 15 w górę) niewiele wnosi przy założeniu, że nie będzie naprawdę ciężko (czyli na przykład 1 bądź 2 sukcesy przy 2 kościach – trzeci rząd od góry). Przejście z poziomu 14 na poziom 18 zwiększa prawdopodobieństwo sukcesu o 8 punktów procentowych. Z drugiej strony, taki sam wzrost mamy przy przejściu poziomu 3 na 4. Oczywiście widać, że zależności te nie są liniowe, tak więc dobrze jest mieć takie tabele pod ręką.

Można również zauważyć, iż podniesienie cech robi się dużo ważniejsze w sytuacjach, gdy musimy zdobyć na przykład minimum 5 sukcesu przy rzucie 6 kostkami. Wtedy przyrosty przy wyższych wartościach są naprawdę rozsądne, rzędu 10 punktów procentowych za "oczko", jednak do poziomu 7–8 szkoda zawracać sobie głowę – prawdopodobieństwo jest bardzo niskie i rośnie bardzo powoli. Doskonale też widać, że dodanie jednej kości przy poziomie 5 sukcesów z 5 kości (dwa dolne rzędy) niewiele zmienia przy niskiej wartości cechy. Dlatego też gracze powinni sobie zdawać z tego sprawę i niekoniecznie zużywać punkty Impetu (Momentum), które mogą zostać wymienione na dodatkowe kostki. Rzecz jasna, gracze rzadko kiedy będą mieli wpływ na poziom trudności w czasie zabawy, dlatego też MG powinien pamiętać o powyższej tabelce i dać BG jakieś szanse.

Wniosek kolejny. Jest wielowymiarowo i żeby w pełni oddać dynamikę zmian prawdopodobieństwa, trzeba by wziąć dużo więcej zmiennych pod uwagę – czyli liczbę kostek, wymaganą do zdobycia liczbę sukcesów, ewentualnie ile sukcesów mamy na start (mechanika ta pozwala dodać automatycznie jedną kość z sukcesem). 

Wszyscy do kalkulatorów, czyli podsumowanie

Powyższe pokazuje, że typowe mechaniki stosowane w popularnych systemach RPG w Polsce nie są statystycznie jakoś strasznie skomplikowane. Co prawda mają one masę niuansów, w stylu forsowania testów w Zewie Cthulhu, czy poziomów sukcesu testu w przypadku Warhammera (dodatkowa nieliniowość), które utrudniają metodyczne podejście do rozgrywki. Jednakże niektóre sytuacje są oczywiste i myślę, że przejrzenie kart postaci i powyższych (lub podobnych, własnych) tabel prawdopodobieństwa przed krytycznymi misjami może pomóc zbalansować rozgrywkę. Oczywiście zawsze będą trafiać się serie krytyków pod rząd, czego wszystkim, mimo niekoniecznie sprzyjającej matematyki, życzę.

PS. Polecam testy w domu. W OpenOffice Calc i Google Sheet losujecie z zadanego przedziału komendą RANDBETWEEN. Z tego zrobienie np. 3k6+3 jest już bułką z masłem. Skopiowanie potem wartości do kolejnych paruset kolumn i wyliczenie wartości średniej pomoże MG zobaczyć, czego nasi umęczeni gracze mogą się spodziewać.