Geometria nieeuklidesowa dla cthulthystów

Wszyscy wielbiciele prozy H. P. Lovecrafta, jak również twórczości opartej o jego pomysły (RPG, karcianki etc.) zetknęli się z całą pewnością z, jakże często przywoływanym, pojęciem "geometrii nieeuklidesowej". Pewnym problemem jest jednak fakt, że - niestety - dokładne znaczenie tego określenia znane jest zazwyczaj tym najbardziej dociekliwym tudzież studentom matematyki i uczniom niektórych szkół średnich, a przynajmniej tym spośród nich, którzy pobierają nauki w klasach matematycznych. Dla pozostałych może to być wzmianka w książce, Escherowski drzeworyt wstęgi Möbiusa, model przestrzeni Kleina (z powodu kształtu nazywanej również butelką Kleina) bądź fraktale (figury samo-podobne), cenione za (jak pisze Pratchett) "ładne wzory na koszulkach". Nie wszystkie z nich muszą zresztą być zrozumiałe dla każdego. Dla większości geometria nieeuklidesowa z pewnością pozostanie tylko niejasnym terminem bez większego znaczenia - kolejnym dwuspadowym, omszałym określeniem rodem z plugawych powieści grozy. Szkoda, gdyż jest to jedna z bardziej intrygujących idei w matematyce. W tym momencie uprzedzam wszystkich, że poczynione w tekście uwagi na ten temat niekoniecznie odpowiadają wysublimowanym gustom profesury i o ile nadają się do wyłożenia podstaw, to lepiej nie szafować nimi w bardziej oficjalnym otoczeniu. Gdyby jednak ktokolwiek wyraził taką chęć, musi wziąć na siebie pełne ryzyko. To samo tyczy się środowiska najbardziej zatwardziałych cthulthystów, którym nie w smak może się okazać nastrój zbliżony w mniejszym stopniu do Cienia nad Inssmouth, a w większym - do Very Scary Solstice, Shoggoth on the Roof i Unspeakable Vault (of Doom)... Skoro jednak formalnościom stało się zadość, pomachajmy na pożegnanie resztkom Poczytalności i przejdźmy do rzeczy. Odpowiadając na pytanie: "czym jest geometria nieeuklidesowa" musimy najpierw ustalić, czym jest sama geometria - i przywołać Euklidesa. Obejdzie się bez świec i innych pomocy początkującego spirytysty, ale za to przyda się garść pojęć znanych ze szkolnych podręczników. Najkrócej mówiąc: geometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są figury geometryczne i zależności między nimi. Była to również pierwsza dziedzina matematyki oparta o aksjomaty, inaczej określane jako postulaty albo pewniki. Zainteresowani powiedzieliby, że są to "sformalizowane wypowiedzi o pojęciach pierwotnych, na których opiera się cała geometria". My zaś możemy uznać, że to "wymysł, na który nikt nie potrafi podać dowodu, ale wszyscy uznają, że to prawda, bo inaczej wszystko pójdzie w Shoggotki" - i również będziemy bliscy prawdy. Pierwsze twierdzenia geometryczne próbował tworzyć Tales z Miletu, filozof i uczony. Biorąc pod uwagę to, czym się zajmował, możemy nazwać go "honorowym Badaczem". W okolicy 300 r. p.n.e. Euklides dokonał w dziele Elementy kompilacji uzyskanej do tamtego momentu wiedzy matematycznej. Obejmowało ono teorię proporcji, arytmetykę... i geometrię. Jak widać już w tym momencie, lektura tejże księgi (czy raczej zwojów, które się na nią składały) mogła odbić się na Poczytalności niejednego czytelnika. Był to zarazem pierwszy dedukcyjny (tzn. "taki, który opiera się na zgadywaniu odpowiedzi i dowodzeniu, że się trafiło") wykład geometrii w historii matematyki, a twierdzenia, które zostały weń wyprowadzone z zastosowaniem tradycyjnych reguł logiki (tj. "dowodząc, że ma się rację, a skoro tak to nie można się mylić"), opierały się o ustalone pojęcia pierwotne i aksjomaty. Na tych ostatnich skupia się nasza uwaga. Pięć postulatów Euklidesa przez ponad dwa tysiące lat stanowiły podstawę matematyki. Nie to nas jednak interesuje - najważniejszy jest fakt, że V aksjomat został wyprowadzony najpóźniej, a nadto wydaje się, że sam Euklides niechętnie się do niego odwołuje. Całkiem słusznie, o czym jeszcze się przekonamy, bowiem ten właśnie postulat ma dla nas kluczowe znaczenie. V aksjomat Euklidesa (często zwany po prostu "aksjomatem Euklidesa") głosi, że "przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej". Z języka matematyki na "nasze": "jeśli nakreślicie prostą, a poza nią wybierzecie jakiś punkt, to możecie narysować tylko jedną prostą, która będzie przez niego przechodzić i nie będzie krzyżować się z tą pierwszą prostą". Niezależnie od tego, jak go zapiszemy, będzie on równoważny m.in. następującym, jakże znajomym twierdzeniom: - suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego - na każdym trójkącie można opisać okrąg - istnieje kwadrat Już w tym momencie możemy zastanowić się, "co by było, gdyby go nie było". Rzecz jasna, wszystkie równoważne z nim twierdzenia przestałyby obowiązywać... Wielokrotnie próbowano dokonać wyprowadzenia V aksjomatu od pozostałych, jednak nigdy się to nie powiodło – dziś już wiadomo, że było to niemożliwe. Próby te jednak doprowadziły do powstania innych teorii, które stały się podstawą tzw. geometrii nieeuklidesowych. Posłużyliśmy się liczbą mnogą, gdyż jest ich wiele (a "imię ich Legion"). Teoretycznie - nieskończenie wiele. Ich wspólną cechą jest to, że nie jest w nich spełniony V pewnik, który zostaje zastąpiony innym, sprzecznym stwierdzeniem. Co ciekawe, utworzona w ten sposób "nowa geometria" wciąż funkcjonuje i jest jak najbardziej prawdziwa. Tym samym można dojść do wniosku, że V pewnik wcale nie jest taki pewny, a geometria euklidesowa, do której zdajemy się być przyzwyczajeni, wcale nie jest "jedyną słuszną". Rodzi się również podejrzenie, że może być odwrotnie... Po wyeliminowaniu V aksjomatu (bez zastępowania go innym) powstaje geometria absolutna, której twierdzenia są prawdziwe zarówno dla geometrii euklidesowej, jak i dla nieeuklidesowych. W końcu jesteśmy w domu - bluźnierczym, cyklopowym, omszałym i dwuspadowym. Powiedzmy sobie zatem coś więcej o geometriach nieeuklidesowych (mając nadzieję, że powtarzanie tego pojęcia nie jest równoznaczne z trzykrotnym wymówieniem imienia "Hastur"). Przedstawiłem już "oficjalną" wykładnię tego, czym one są. Równie dobrze można powiedzieć, że "geometria nieeuklidesowa to taka, która dotyczy płaszczyzny o niezerowej krzywiźnie w przestrzeni trójwymiarowej". Jesteśmy przyzwyczajeni do płaszczyzn, pól, kwadratów i sześcianów. Wyobraźmy sobie jednak, że mamy do czynienia z płaszczyzną w kształcie sfery lub półsfery. Albo i lepiej - że oto mamy rzutować obraz na torus ("przykładowa bryła topologiczna", albo po prostu "coś na kształt pierścienia czy opony") lub jeszcze inny "okrągły", trójwymiarowy kształt. Co ciekawe, równie dobrze może to być geoida (jak Ziemia). Skoro zaś kształt powierzchni definiuje geometrię, a sami najczęściej przebywamy raczej na wielkiej kuli niż ogromnym dysku (o ile zanadto nie bujamy głową w chmurach), możemy już teraz stwierdzić, że geometrie nieeuklidesowe powinny nam być znacznie bliższe niż euklidesowa - uproszczona i całkowicie nierealna. Jakie to przykre - i jakże cthulhowo-Kultowe. Darujmy sobie jednak obalanie Iluzji i walkę z Nienazwanym. Zamiast tego rzućmy okiem na kilka przykładów. By się nie rozdrabniać, weźmy się za tzw. geometrię hiperboliczną (nazywana również geometrią Łobaczewskiego), w której aksjomat Euklidesa zastępuje następujące stwierdzenie: "przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające danej". Darujmy sobie cthulthyzm i bądźmy przez moment "zwykłymi ludźmi", by z tej pozycji zapytać - "niemożliwe?" Tak - jednak tylko w geometrii euklidesowej. Dla geometrii hiperbolicznej zaś jest to podstawa... Co ciekawe, doskonale działająca i dająca interesujące efekty. Tyle teoria. Jak jednak oddać to na kartce? Na początek przydatna będzie prosta linia. Tej linii nie ma - przyjęcie tego faktu jest konieczne dla zrozumienia omawianej postaci geometrii. Dla uproszczenia przyjmijcie, iż pełni ona rolę horyzontu. Widzimy widnokrąg, ale nie jesteśmy w stanie do niego dojść - gdy się zbliżamy, odsuwa się od nas. I tak w nieskończoność... Jeśli zastąpimy nas - upartych wędrowców, Badaczy i obserwatorów z niskim poziomem Poczytalności, którym zachciało się badać horyzont - prostą, biegnąc ku nakreślonej linii-której-nie-ma, to dojdziemy mniej więcej do tego, o co chodzi. V aksjomat zastępuje tutaj postulat hiperboliczny: "przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające jej". Jego spełnienie jest możliwe - kwestia tego, jak wyglądają proste w danej geometrii. Prosta, jak wiadomo, jest "nieskończenie długim zbiorem punktów pozbawionym początku i końca". W tym konkretnym przypadku istnieją dwie możliwe formy prostej - jeśli będzie ona prostopadła do tego-czego-nie-ma, to będzie wyglądała podobnie do tych, do których jesteśmy przyzwyczajeni. Co ważne, nie wybiega ona poza to-czego-nie-ma. Dochodzi doń, ale nie dalej - tam już nie istnieje przestrzeń. Ktoś mógłby uznać, że w takim wypadku mamy do czynienia z półprostą - otóż nie. Linia, na której się opieramy, nie istnieje faktycznie, a definicja prostej wciąż pozostaje w mocy - jest to "nieskończenie długi zbiór punktów" - a punkt nie zajmuje żadnej przestrzeni (obrazująca go na naszych rysunkach kropka jest aż zbytnim uproszczeniem). W związku z tym, na dowolnie małej przestrzeni można zmieścić dowolnie wiele punktów "jeden obok drugiego". Wynika z tego również, że ów koniec jest tylko pozorny - wciąż mamy do czynienia z niekończącą się linią punktów, czyli z prostą. Druga możliwość może wydać się jeszcze bardziej nietypowa: dlaczego prosta nie miałaby zostać rozciągnięta niczym łuk na tym-czego-niema? To, o czym była już mowa powyżej, obowiązuje i teraz, więc mimo dwóch pozornych końców, wciąż mamy do czynienia z nieskończoną prostą. Niezależnie więc od promienia koła, z którego wycięto dany łuk, będzie on nieskończenie długi. Z geometrią hiperboliczną mamy do czynienia przykładowo w pracach M. C. Eschera, takich jak seria drzeworytów Granice koła. Skorzystaliśmy z modelu półpłaszczyznowego Łobaczewskiego-Bolyaia - osoby tych badaczy (czy może raczej: Badaczy) są ściśle związane z narodzinami geometrii nieeuklidesowej i przyjęło się określać geometrię hiperboliczną ich nazwiskami - znanego jako bluźnierczy i niewypowiedziany "model półpłaszczyzny Poincaré". Jest to tylko jedno z wielu możliwych rozwiązań. Istnieją cztery najczęściej stosowane modele tej geometrii: - model Kleina - "wnętrze koła jako płaszczyzny hiperbolicznej i cięciwy koła jako linii" - model Poincaré - "angażuje wnętrze koła; proste są reprezentowane przez łuki koła prostopadłego do granicy koła oraz średnicy okręgu" - model półpłaszczyzny Poincaré - "za płaszczyznę hiperboliczną przyjmuje półpłaszczyznę Euklidesa jako określoną przez Euklidesa linię B (samo B nie jest włączane). Hiperboliczne linie są więc zarówno półokręgami prostopadłymi do B jak i promieniami prostopadłymi do B" - model Minkowskiego - najbardziej plugawy z wymienionych: "stosuje n-wymiarową hiperboloidę o obrocie osadzonym w n+1-wymiarowej przestrzeni euklidesowej" - tajemnicza hiperboloida oznacza figurę powstałą przez obrót hiperboli wokół osi Geometria hiperboliczna pozwala na ciekawe przekształcenia - np. dopuszcza figury w rodzaju dwuścianów. Stoi w sprzeczności z tym, do czego jesteśmy przyzwyczajeni przez nauczanie - jakże sztucznej i nienaturalnej - geometrii euklidesowej. Słuszne wydają się słowa architekta Friedensreicha Hundertwassera, który miał twierdzić, iż "linia prosta jest narzędziem diabła" - zdecydowanie mocniej niż Gaudi, który przypisywał ją ludziom (mówiąc przy tym, że za to "linia krzywa jest dziełem Boga"). Dajmy pokój geometrii Łobaczewskiego. Wszak nie jest ona jedyną istniejącą, choć z pewnością najstarszą (przynajmniej biorąc pod uwagę datę jej "odkrycia"). Jako się rzekło, pod pojęciem "geometrii nieeuklidesowej" może się kryć nieskończenie wiele różnych geometrii. Jako żywo, "Wielość w Jedności", czasem nawet ze sferami (choć niekoniecznie błyszczącymi). Kwestia sformułowania odpowiedniego stwierdzenia sprzecznego z V aksjomatem, mogącym go zastąpić. Dobrym przykładem będzie geometria eliptyczna, będąca piękną odwrotnością (jeśli można tu jeszcze mówić o czymś takim) omówionej geometrii hiperbolicznej. Zamiast przyjmować, że "przez punkt położony poza prostą może przechodzić tylko jedna prosta równoległa do pierwszej" lub "przez punkt […] mogą przechodzić co najmniej dwie proste", zakłada ona, iż ta sztuka nie uda się żadnej śmiałej prostej. "Przez punkt nie leżący na danej prostej nie przechodzi żadna prosta równoległa do danej" - jakież to smutne... W praktyce może to oznaczać, że zdecydowaliśmy się np. potraktować powierzchnię jakiejś nieszczęsnej kuli jako płaszczyznę. Nie będziemy jednak wnikać głębiej w jej specyfikę, ani też specyfikę innych geometrii nieeuklidesowych. Ciekawi, którym nie żal Poczytalności, zawsze mogą poszukać na własną rękę, albo nawet zastanowić się nad jakąś "własną" geometrią. W końcu - czemu nie? Czy wszystko to jest tylko zabawą znudzonych matematyków, teorią bez znaczenia, nie licząc tego, że "daje ciekawe efekty na koszulkach"? Nie - o tym jednak należałoby przekonać się samemu. Swoistą ciekawostką może za to być fakt, że - zgodnie z pewnego rodzaju wyliczeniami, mającymi na celu ustalenie, czy Wszechświat będzie się rozszerzał w nieskończoność, czy też kiedyś zaprzestanie tego niecnego procederu lub nawet zacznie się kurczyć - w naszym Wszechświecie (przemilczmy na moment Przedwiecznych i wszelakie Rasy Obce [Służebne czy też nie], pozwalając sobie na tak śmiałe określenie) obowiązuje geometria hiperboliczna, a sam Wszechświat bynajmniej nie ma zamiaru się zatrzymywać. Ot, zimny drań bez żadnych zahamowań. Jeśli zaś chodzi o nieeuklidesowe figury, to mamy z nimi do czynienia na co dzień - są "wbudowane" w świat. O kilku z nich wspomnieliśmy na wstępie. By nie pozostawiać niejasności, wróćmy do nich na moment i powiedzmy trochę więcej. Wstęga Möbiusa to przykład powierzchni jednostronnej: ma ona tylko jedną stronę, mimo niewątpliwej "trójwymiarowości". A także jedną tylko krawędź... Każdy może ją stworzyć na własną rękę, chwytając długi, wąski kawałek papieru, taśmy lub materiału - i zginając go, by połączyć jego końce "na odwrót". Tak powstały pierścień ma to do siebie, że można po nim wodzić palcem bez końca, jakkolwiek nie jest to specjalnie zajmujące zajęcie. Dość często sugeruje się, że znajomy symbol nieskończoności jest w jakiś sposób powiązany z wstęgą Möbiusa (skojarzył je ze sobą także Escher w jednej z prac). Niestety, o ile nie jest to jakiś dowcip Yog Sothotha, wydaje się to mało prawdopodobne: "położona ósemka" jako symbol nieskończoności była w użyciu przynajmniej na dwa wieki przed okryciem wstęgi. Czy musi ona posiadać jedno takie "zagięcie"? Oczywiście nie - może ich być dowolna nieparzysta liczba. Przy trzech takich "zagięciach" otrzymamy kształt dziwnie znajomy, służący obecnie za symbol recyklingu. Można to uznać za dowód na jego bluźnierczą naturę... Wróćmy jeszcze na moment do faktu posiadania przez wstęgę Möbiusa jednej krawędzi. Co by się stało, gdybyśmy skleili ją - albo skleili brzegami dwie takie wstęgi? Mamy nikłe szanse powodzenia, gdyż wymaga to wykorzystania czterech wymiarów. W innym wypadku przekonamy się, że owo Coś musiałoby przechodzić przez siebie... Po dokonaniu tej trudnej sztuki w wyobraźni lub na rysunku otrzymujemy jednak kształt odlegle kojarzący się z butelką: przestrzeń Kleina, jednostronną, pozbawioną brzegu powierzchnię dwuwymiarową. Co prawda funkcjonującą dobrze tylko w czterech wymiarach, ale zawsze. Są jeszcze fraktale… Zawsze są jeszcze fraktale. Często określa się je jako figury samo-podobne. Z rzadka dodaje się, że są tym, co pomiędzy zwyczajowymi wymiarami: swego rodzaju ułamkami. Często ilustruje je się za pomocą przykładów wziętych z natury, takich jak choćby rozgałęziające się drzewo, przy czym gałęzie dzielą się na mniejsze, a te dalej - i wciąż widać w nich pewne odległe podobieństwo do całego drzewa. Równie dobra może być analogia do plaży - na mapie obdarzonej dość zawiłym kształtem, który w miarę zwiększania skali staje się jeszcze bardziej powikłany - wciąż jednak możemy rozpoznać w nim wiele elementów podobnych do całości - lub chociaż do innych jej elementów. A gdy wybierzemy się na nią sami, szybko przekonamy się, że poza zaznaczonymi na mapach elementami trzeba by wziąć pod uwagę również piasek - i każde ziarenko z osobna... Innym razem zmusza się komputer do wygenerowania fraktali przez powtarzanie kilku kroków w nieskończoność, co pozwala zaoszczędzić wiele nerwów i jeszcze więcej czasu. Prostym przykładem fraktala może być trójkąt równoboczny, który podzielimy na cztery równe, mniejsze trójkąty równoboczne, które z kolei podzielimy w ten sam sposób - i tak w nieskończoność. Nazywamy go trójkątem Sierpińskiego. Częściej jednak fraktale bywają skłębione i poszarpane, równie niechętne liniom prostym jak Gaudi. Ogółem mają one to do siebie, że ich tworzenie nieco łatwiej przychodzi komputerom niż ludziom (którzy dość prędko się nudzą - albo zwyczajnie mają trudności z uchwyceniem skali lub pomieszczeniem czegoś na skończonej płaszczyźnie), a ich występowanie zwykle wiąże się albo z naturą (która chyba je lubi, umieszczając je gdzie się da), albo z bluźnierczo wysokim poziomem chaosu. Na przykład w obrazach Pollocka. Ciekawe, iż choć "prawdziwe", "pełne" fraktale są nieskończone, to wciąż można je zmieścić na skończonej powierzchni... Gdy kolejnym razem traficie na wzmiankę o "geometrii nieeuklidesowej" w "R'lyeh, gdzie spoczywa martwy Cthulhu", pamiętajcie, że nie tylko tam się z nią spotykacie - i że nie jest wcale taka plugawa i omszała jakby się wydawało. Wykorzystane ilustracje M. C. Eschera:

• Wstęga Moebiusa II - za: http://www.math.ntua.gr/
• Granice Koła III - za: http://www.ams.org/

Zaloguj się, aby wyłączyć tę reklamę